牛顿的《原理》打开了自然数学研究的大门，欧洲大陆的同事们将牛顿关于自然规律的思想扩展到了物理科学的大部分领域在波动方程之后，其他许多重力方程相继出现，如静电方程，弹性方程，热流方程等

1807年，傅立叶向法国科学院提交了一篇关于热流的文章，文章基于一个新的偏微分方程:

这里假设金属棒无限细，热扩散率α为常数，u为金属棒在x位置和时间t的温度所以应该叫温度方程

其中▽是拉普拉斯算子，

精确地

热量方程和波动方程有着不可思议的相似之处，但有一个关键的区别波动方程使用二阶时间导数

u/t在热方程中，它被一阶时间导数U/T所代替这个变化看似很小，但其物理意义是巨大的热量不会像小提琴弦的振动一样无限持续相反，伴随着时间的推移，热量会消散，除非有热源可以加热所以一个典型的问题是:加热一根棒的一端以保持其温度稳定，冷却另一端以达到同样的效果当一根金属棒的状态稳定后，温度是如何沿棒变化的答案是指数下降

另一个问题是在确定沿金属棒的初始温度分布后，如何确定温度随时间的变化可能左半部分开始温度较高，右半部分开始温度较低这个等式告诉我们热量是如何从热的部分传到冷的部分的

热方程是线性的，所以我们可以叠加解。如果初始条件是

那么解决方法就是

但是像这样的初始条件有点不真实为了解决我之前提到的问题，我们需要这样一个初始条件，一半的金属棒有u = 1，另一半有U = 1这个初始条件是不连续的，工程上称为方波但是正弦和余弦曲线是连续的所以正弦和余弦曲线的叠加不能代表方波

但是，如果允许无限项重叠呢我们可以尝试用无穷级数的形式来表示初始条件

现在看来确实有可能得到方波其实大部分系数都可以设为零，只需要奇数n的b_n项

如何从正弦和余弦得到方波左:正弦波分量右图:它们的和是方波这里显示了傅立叶级数的前几项附加项使方波的近似更精确

傅立叶甚至给出了以积分形式表示一般条件F的系数a_n和b_n的通式，

经过对三角函数幂级数展开的长期探索，他意识到有一种更简单的方法来推导这些公式如果取两个不同的三角函数，相乘，然后从0到2π积分，结果是0但如果它们相等，假设它们都等于sin5x，那么它们乘积的积分就不为零假设f 是一个三角级数的和，所有项都乘以sin5x，然后积分，除了sin5x对应的项，所有项都消失，即b_5sin5x这里的积分是π除以这个得到b5的傅立叶公式，其他系数都一样

尽管获得了诺贝尔奖，傅立叶还是被严厉批评不够严谨傅立叶被激怒了物理直觉告诉他，他是对的真正的问题是欧拉和伯努利为一个类似的波动方程问题争论了很久热量随时间的指数扩散被无限正弦振幅所代替基本的数学问题是一样的其实欧拉已经发表了波动方程中系数的积分公式

但欧拉从未声称这个公式适用于不连续函数，这是傅立叶研究中最有争议的一点小提琴弦模型不包含不连续的初始条件但是对于热，很自然地会考虑将金属棒的一个区域保持在一个温度，而相邻的区域保持在另一个温度在实际应用中，过渡过程平滑陡峭，但不连续模型更合理，便于计算事实上，热量方程的解解释了为什么当热量传播到两侧时，转变会很快变得平滑和陡峭

数学家开始意识到无穷级数是一种危险的野兽最后，这些复杂的问题被解决了1822年，傅立叶出版了他的著作《热分析理论》

现在我们知道，尽管傅立叶是正确的，但他的批评者有充分的理由担心它的严谨性傅立叶分析是好的，但是还是有一些问题

问题是，傅立叶级数什么时候收敛到它所代表的函数也就是如果取的项数越来越多，函数的逼近会不会更好甚至傅立叶也知道答案并不总是如此例如，在温度跃变的中点，方波的傅立叶级数收敛——但它收敛到错误的值0，但方波的值为1

对于大多数物理问题来说，改变一个孤立点上的函数值并没有多大关系只是在间断处略有不同对于傅立叶来说，这种问题并不重要但是收敛问题也不能这么轻视，因为函数的不连续性可能比波的不连续性复杂得多

但傅立叶声称他的方法适用于任何函数，所以应该适用于x为有理数时f = 0，x为无理数时f = 1这样的函数这个函数到处都是不连续的对于这样的函数，当时积分的意义并不清楚这才是争议的真正原因没有人给积分下过定义甚至没有人给函数下过定义即使你能填满这些洞，也不仅仅是傅立叶级数是否收敛的问题真正的困难是要弄清楚它在什么意义上是收敛的

解决这些问题很棘手:

它需要一个新的积分理论，由亨利·勒贝格提出，

乔治·康托倡导的从集合论角度重建数学基础，

从黎曼这样的杰出人物那里获得了重要的见解，应用20世纪的抽象概念解决了收敛问题。

最后的结论是，傅立叶通过正确的解释，确实解出了热方程但它的真正意义要广泛得多除了纯数学，主要受益的不是热力学，而是工程，尤其是电子工程

在最一般的形式中，傅立叶方法表示一个信号，该信号由函数f确定这被称为波的傅立叶变换它用频谱代替了原始信号:这是一组正弦和余弦的振幅和频率，以不同的方式对相同的信息进行编码

这项技术的一个应用是抗震建筑的设计典型地震产生的振动的傅立叶变换揭示了地震的能量频率建筑有自己的固有振动模式，会和地震产生共振，也就是说反应异常强烈因此，建筑抗震的第一步是保证建筑的优先频率与地震的优先频率不同地震的频率可以通过观察获得，通过计算机模型可以计算出建筑物的频率

这只是傅立叶变换幕后影响我们生活的诸多方面之一傅立叶变换已经成为科学和工程中的常用工具它的应用包括从录音中去除噪音，x射线衍射被用来发现DNA等大生物化学分子的结构改善无线电接收和处理从空中拍摄的照片在这里，我只关注成千上万个日常应用中的一个:图像处理

傅立叶变换在图形处理中的应用

答案是数据压缩其中一些过程是无损的，这意味着如果需要，可以从压缩版本中检索原始信息这是必要的，因为大多数真实世界的图像包含冗余信息例如，大片的天空通常是同样的蓝色不需要一遍又一遍地重复蓝色像素的颜色和亮度信息，就可以存储一个矩形的两个对角的坐标和几行简短的代码

它对人眼图像的某些特征并不特别敏感，但这些特征可以在较粗糙的尺度上记录下来，而不会被大多数人注意到以这种方式压缩信息很容易，但不可逆

傅立叶分析已经成为工程师和科学家的必备技术，但是对于某些用途来说，这种技术有一个重大的缺点:正弦和余弦有无穷多项当傅立叶方法试图表示紧凑信号时，它遇到了问题它需要大量的正弦和余弦来模拟一个局部光点问题不在于得到光点的基本形状，而在于使除光点以外的一切都等于零你要做的是增加更多高频正弦和余弦信号，以消除不需要的信号因此，傅里叶变换对于光斑信号是无用的:变换后的信号比原始信号更复杂，需要更多的数据来描述

选择正弦和余弦是因为它们满足一个简单的条件形式上，这意味着它们是正交的将两个基本正弦波相乘，并在一个周期内对其积分，可以衡量它们的相关程度如果这个数字很大，它们非常相似，如果为零，则它们是独立的

傅立叶分析是有效的，因为它的基本波形既正交又完整，如果适当叠加，它们可以表示任何信号实际上，它们在所有信号的空间中提供了一个坐标系，就像普通空间中的三维坐标系一样的主要新特性是现在有无限的轴:每个基本波形有一个轴一旦习惯了，数学就没问题了

不难发现，在无限维信号空间中存在一个不同于傅立叶的坐标系整个领域最重要的发现之一是一种新的坐标系，在这种坐标系中，基本波形被限制在有限的空间区域内它们被称为小波，可以非常有效地表示光点，因为它们是光点小波的光点特性使其特别适用于压缩图像它们最早的大规模实际应用之一就是存储指纹此外，小波在医学成像中有许多应用事实上，小波几乎无处不在地球物理和电气工程领域的研究人员已经将这些技术应用于他们自己的领域